素数日について

7月になりました。
数学をしなきゃいけないことは分かってるんですが、ちょっと現実逃避。
7月はたくさん数学する予定ですし、ちょっとね、逃げても許されるんじゃない？

2012年1月1日に年間の素数をまとめた記事を書きました。
そのうち、これに関係した素数日について書こうと思っていたのですが、忘れていたことに気づいたので、今夜はそれについて書いてみようと思います。

まず『素数日』の定義が必要です。

これは、年(4桁)・月(2桁)・日(桁)をそれぞれ並べて、表記した8桁の数字が素数である時とするのが普通の定義のように感じます。

しかし、ここで問題となるのは、この8桁の並び方が（私の知るところでは）少なくとも3種類あります。

この並び方について、考えましょう。

例えば、今日は2012年7月1日ですが、これは日本式です。

これをスラッシュ(/)を挟んで書くと

2012/07/01

と書きますね。しかし、しばしば、この2012の20の部分を省略して書くこともあります。（あまりないかも…？）
そうすると

12/07/01

となりますね。しかし、この表記。実は3通りの解釈が生まれてしまいます。
（だから、1900年代は19を省略したけど、2000年代に入ってから20を省略するのは少なくなったのかな…？と思ったりします。）

日本では…2012年7月1日
米国では…2001年12月7日
英国では…2001年7月12日

の解釈が出来てしまいます。
つまり、2012年7月1日をスラッシュ(/)を挟んで書くと…

日本…2012/07/01 -> 20120701
米国…07/01/2012 -> 07012012
英国…01/07/2012 -> 01072012

となります。スラッシュ(/)を挟んだ横に、繋げて書いて、8桁表記をしてみました。
すると、すぐに分かるように、「2012年」は、米国・英国表記では、素数日が全く現れない年になってしまいます。
さらに、便宜上8桁で書きましたが、先頭が0になることがある、月・日が先頭に来るのは少しつまらなくもありますね。

なので、『素数日』として、定義する場合は、日本式で表示した8桁の数字について考えるのが良いでしょう。

それでは、1日しか存在しない（年・月・日によって一意に定まる）、『素数日』に対しては、日本式を採用していくことにします。

まとめましょう。

定義(Def) 特定の日が『素数日』であるとは、日本式の表記yyyymmdd(ISO 8601)が素数であるとき

例えば(e.g.) 2012年における素数日は、以下の通り。（緑色が素数日です。）

さて、読者の方には、『では、年を除いた場合はどうなるのか？』と考える方が居るでしょう。

これについても考えていき、これを『年間素数日』（または狭義素数日としましょう。）

これもまず、並び方から採用すべきものを選ぶべきです。

7月1日について、それぞれ書いてみましょう。

日本…07/01 -> 0701
米国…07/01 -> 0701
英国…01/07 -> 0107

となります。つまり、日本式と米国式は同じなので、考えるべきは2通りです。

どちらも面白そうなので、求めてみましょう。

まずは、日本・米国式の年間素数日

総数：59個

次に、英国式の年間素数日

総数：53個

となりました。59,53と、どちらも素数個ありました！！感動！！
そして、あまり個数に差が無いことにちょっと感動もしましたね。

英国式では、偶数の月は全く素数日が現れませんから、『英国の方が少なくなるのでは？』と直感的には思うかも知れません。

よく見ると、英国式では、右に数字が増えていく**01~**12のパターン。
日本・米国式では、縦に数字が増えていく01**~12**のパターン。

つまり明らかに英国式の方が全体的に見て数が大きいので素数日の個数が少なくなるのは、ある意味正しい。

一応ここで、それぞれの数の総和について考えてみましょう。(大凡の計算をします）

英国式では、横に考えた時に、1列目の平均が106、2列目に206、それ以降306となっていきますので
106*12+206*12+...+2906*12+3006*12=12*(106+206+...+2906+3006)=12*((1+2+...+29+30)*100)=558 000
日本・米国式では、縦に考えた時に1月なら平均が115、それ以降も215、315となっていきますので
((1+2+...+11+12)*100+15)*30=234 450

となります。大凡2倍違いますが、もちろん、総和から全てが判断出来るわけではないです。
ある区間には、素数が多く含まれる場合だってありますからね。
そのある種の重みが、今回の素数の個数の差の少なさになったのではないか…と考えられますね。

次は、どうにか上手い（こじつけを考えて）、その日と素数を結び付けられないかを考えて行きましょう。（実は5月後半から考えてたりする…）

例えば、2月3日は、日本・米国式、英国式の両方で素数ではありませんが、2012年と言うものを頭につけた20120203は素数となります。

1月2日は、いずれの場合でも素数ではありません。

ここで、必ず入れなければならない数字として（その日を結びつける）、mmdd

これに、2012、12、(平成)24などを付け足した物が素数にならないかと考えるわけです…。

しかし、mmddが3の倍数で割り切れるのであれば、12、24をどこにつけたとしてもそれも3の倍数で割りきれてしまいます…。

新しい付け加え方を導入しなければ、1月2日を素数と結びつけることは不可能です。

この新しい付け加え方として、面白そうなものを見つけました。

それがこちらのサイトにあるような方法です。7年前にも、同じようなことを考えている人が居たということは、結構考えてる人がいるんですね…。

これをもうちょっと練って、自分なりに考えてみようと思います。

それでは、また後日、経過報告と共に書くことにします。（来週辺り…？）