自然対数の底 について

理系や、数学Ⅲまで習った人なら、このの定義について問われると、なんだかよく分からないけど、何かの極限値だった気がすると思うのではないだろうか。
ある程度勉強した人なら、あの形が極限の問題に出てくることがあるので、覚えなければならないと躍起になって暗記している、または暗記したのではないだろうか。

しかし、定義だからと言って何もかも覚えるのでは面白く無いだろうし、『何かの値に近づくことが分かるよね。』と教科書には書いているが、それが実際に収束するか、どうかなんて分からないのが極限だったはずなのだ。

例えば、 この級数は発散するが、 この級数は収束する。
ちょっと値を入れただけで、収束するかしないかなど到底言えないことは、伝えられてきた、習ってきたはずなのに、何故自然対数の底では、そう教えられてしまうのか。

これには、この後で扱う問題が比較的解きやすくなるなどの実例があるから高校数学に盛り込まざるを得なかったからであろうと思う。
現状の数学教育では仕方の無いことで、そこをとやかく言うつもりは無い。

では、今回はこの後出てくるや対数微分を習ったところで、この自然対数の底について考え直し、極限の形を覚える必要がなくなることを伝えたいと思う。

これは比較的簡単に見つけることができるので、この話は受験生は是非覚えておいたほうがいい。実際極限の収束・発散は、いくつか覚えなければならないことが多すぎて嫌になるが、大半は先の話を知っていれば、覚える必要は特にないのだ。

それでは、この自然対数の底について、3つのアプローチを考えてみた。もちろん本質的には同じだが…。

1.微分係数との比較

2.を微分の定義にしたがって微分する。

ここまで来れば,後はいつもやっているただの微分公式と見比べれば,に収束している場所が分かるでしょう.

これぐらいでしょうか。もちろん、これらは単独で問題となることもありえますが…。
覚えるという感覚では無くなる気がします。

本質的な部分では、もっと違う方面から出てきそうですが…。まぁ覚えるよりは良いとは思うような気がしないでもないです。
の微分を定義通りにやっても同じ式が出せますが、こちらは小々遠回りな気がしないでもないです。もちろんこっちの方が本質っぽさはある気がします。