その分, あまり散歩も行けずで先月の1/5ぐらい(20km)しか歩いていない気がします.
そしてお久しぶりの数学教育セミナーにも参加してきたので, そのセミナーについて少しまとめてから, 詳しく先月と比較しながら反省して行きたいと思います.
第38回 数学教育セミナー (5月11日)
今回は, 『不完全性定理について聞かれたら』と, 毎月恒例となりつつある高校の教材として統計データをいろいろ参照してみようという2講演がありました.
前半の講演について, 箇条書きでまとめてから感想を少し書くことにします.
- 『不完全性定理』が学校教育における課題・研究授業の題材となったときの対処法
- 名前は「不完全性」とあるが非常に正当化された数学である
- 数学基礎論とは昔の言葉で, 今は数理論理学と言うべきであろう
- 数学と哲学の国境で起こった問題を騒ぎすぎた
- 数学の危機というのは言い過ぎ. 集合論の危機か.
- 哲学者が迫ってきたときに, 逃れるためのweb階層
- 第一不完全性:数学的に示される
- 第二不完全性:哲学的なものが混ざりこむ
- 『数学的仕組み』と『歴史的意義』どちらか一方を知っても, もう一方を知ることは出来ない
私は不完全性定理は言葉しか知らなかったわけですが. カントールや, その周辺が集合論, 選択公理などを問題にした, この時代にいろいろとあったことは知っていました.
今回, 最初のほうで先生が「『数学』と『哲学』をしっかり別けて考えるべき」というようなことを仰ったのですが, まさにその通りだと感じ.
さらに, 質問をしてくる相手側がそのどちら(数学なのか, 哲学なのか, はたまた歴史なのか.)を知りたがっているのかを確認してから, 対処・説明すべきだということは身にしみました.
お互いが何かを討論や議論するときの, スタート地点をハッキリさせようと言うことだと思うのですが, こういうアタリマエのことが出来ていないこともあれば, 出来ていると思っていても, 実は異なる2つ以上の物が混在していたということに気づくことは何度かありますね.
数学的仕組みは, 少しだけ説明されていましたが, なんとなく数理論理学(数学基礎論)を考える意義・意味を感じたような気がします.
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さて, いろいろと5月の反省を書いていきます.
勉強
教員採用試験に向けての勉強:
全く5月はしていません. マズいです. 数学しながら, 就職の資料を眺めていたら, 就職はどうにかなるんじゃないかとか思って, 全くやらず...
一応, 全く関係のないわけではない本は息抜きに読んでいたりします.
学力崩壊についてや, 夢を持つことについてとか... そういう試験に直接的に関係しないものばかり...
まあ, 6月からはやります... はい...
幾つか説明会にも参加し, 面接もしたりなんやり.
合う, 合わないって結構あるんだなあと思ったりなんやり.
数学について:
方面は固まりました.
簡単に書きますと, Dirichletの約数問題とは,
約数関数\( d(n):=\displaystyle\sum_{m_1 m_2=n} 1 \)の
summatory function:\( D(x) := \displaystyle\sum_{n \leq x} d(n) \) の挙動に関する問題:
\( D(x) = x \log x + (2 \gamma - 1) x + \Delta(x) \) , 誤差項:\( \Delta(x) \)のオーダー評価に関する未解決問題です.
広く予想としては \( \Delta(x) = O(x^{\frac{1}{4}+ \varepsilon}) \) であり, これはRiemann-zeta関数のcritical line上の平均値定理における誤差項:\( E(T) = O(T^{\frac{1}{4}+\varepsilon}) \) (これもオーダー評価は予想)と深く関係があります.
実は, この\( \Delta(x) \)と\( E(T) \) は, どちらか一方のオーダー評価を知ることが出来ると, (同じオーダーではないが) もう一方のオーダー評価を知ることが可能です.( これはJutilaが導入した, \( \Delta^*(x) , E^*(T) \)による)
古くはこの\( \Delta(x) \)の良い評価を知るために, Perronの公式や, 指数和などを使っていました.
一方, 約数問題 (A) \( \Delta (x) \ll_{\varepsilon} x^{\frac{1}{4}+\varepsilon} \) と同値な命題:(B) \( \displaystyle\int_0^X \left| \Delta (x) \right|^A dx \ll_{A, \varepsilon} X^{1+\frac{A}{4} + \varepsilon} \) for all \(A \geq 1\).
(これは, \( \Delta(x) を E(T)\) に取り替えても同じ.)
が知られていました. なので, (A)を直接考えるのではなく, (B)について色々調べようという試みがありました.
これについて, \( \Delta(x) にも E(T) \)にも利用できる評価の工夫を上手く考え導入したものの1つに, Ivic先生が1983の論文で導入しました.
これは, 区間\( [1,X] \)に対する評価を(普通じゃ考えられないのでは...と思うほどの)かなり上手くして取ることで(B)を満たす\( A\)の区間を広げました.
これについて, もう少しいろいろ考えられないかな... と思って勉強しています.(このあとに改良したのは, Heath-Brownですが, そこでは超関数論(?)なんかを使う難しい話になってしまいます. もっと簡単に出来ないか, または一般約数関数\(d_k(n) \)に対する誤差項:\( \Delta_k(x) \)でだったら, ある意味の一般化が出来ないかなども視野に入れつつ先行研究の結果を詳しく幾つか読もうとしています.
ダイエット:
5月は全く走らなかった.
その代わり(?), 真面目に忙しかったので, ご飯とカロリーが上手く咬み合ってか, 体重は少し減少傾向.
今日(5月29日の11時における結果を載せておきます.)
ちなみに, 今年も健康診断で, 再検査を受けて来ました.
昨年の結果と合わせて, 載せておきます.(メモ感覚で.)
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| 2012年5月の健康診断結果 |
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| 2013年5月の健康診断結果 |
生活習慣(総括):
この調子で続けて行くなか, ちゃんと就職活動もしていくこと.
まあ, どうにかなるさ. どうにもならなかったらその時はその時でちゃんと考えてあるから心配せずに, でもやることはちゃんとやろうね!ってことで.
少し甘えも入っていますが, 頑張ります.
ではまた.
