ゼミ反省

今日で、一つ区切りとなりました。
先生が2月中忙しいこともあり、次回は3月の頭になりました。

今回の反省は、ヒントと思えるものに頼り過ぎないことです。
まずは、E.C Titchmarsh『The Theory of Function.』p.33のこの例題を見てください。

この証明も難儀し、後もう少しと言う所で解けず、先生に教えて頂いた問題です。
（ここで学んだのは、公式に当てはめることも必要と言うことです。左辺のTaylor展開は、定義通りに導くのは至難の業…。公式に当てはめると、凄く単純に求まります。後は上手く計算を合わせるといいだけです。）

さて、この等式を扱い、4ページ後(p.37)に、次のような等式が出てきました。

これを見た時に、一番最初の式を思い出さない人はいないでしょう。
もちろん私もそう思い、被積分関数の積を基準にして左側が対数の微分で何か出来ないかと
部分積分出来ないかと、色々工夫してみました。（するとまぁが分母に出てきたりするのですが…。）

どうにもこうにも上手く行きませんでした。もしかすると、良い方法があるのかも知れませんが、見つけることは出来ませんでした。
そして、本日のゼミ中に先生に教えて頂いた解法です。(pdf:こちらの37.pdf)

この(1)式までは、先生に言われるままと言った感じでした。
確かに、ヒントにはなっていましたが、直接的な（等式を使ったもの）ではなかった。
ヒントだったのかも知れませんが、それとは違う方向を見すぎていたことに反省ですね。

もっと、式をいじくり回すことが必要なのでしょうね…。
悔しさと恥ずかしさでいっぱいでした。

3月までの一ヶ月、ベクトル解析、位相、ルベーグ積分、関数解析をどうにかしないと…。

余談ですが、先生も忙しいらしく、ゼミ中にこっくりと眠りに落ち、天を仰いでいびきをかいていました。
私はその瞬間を目撃してしまい、結構な大きさで笑ってしまいました。
先生も笑いながら、疲れてることと、何をやっているのか教えてくれました。
ゼミが始まった当初は、険悪な（私達が感じていただけかも知れませんが）感じでしたが
徐々に、私達の勉強も良い方向になり、先生も世間話などもしてくれるようになりました。

数学だけでなく、色々と教わったと思います。来年度で定年退職（退官）されるので、私は他大学の大学院に進まざるを得ませんでしたが、本当に素晴らしい先生に巡り会えたと思っています。

これからも、頑張っていきます。また、残り3月のゼミも精一杯、先生を不安にさせないようにがんばります！

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TryWiMAXをしました。
ついさっき、機器が届きました。

金曜日は、これを持って、都内を色々散策してみます。（夕方から飲み会の予定。）

15日間（2月22日まで）なので、それまで使ってみて、感想（レポ）を後日書いてあげようと思っています。
良ければ、これを契約して、名古屋でも使おうと思っています。（名古屋で体感できないのがあれですが…。）

それでは、また！

ゼミの反省

昨日のゼミの反省です。あまりにも酷かったこともあるので、自分の為にも残しておきます。

前々回のゼミにて出された課題について。

まず、予想をしたのは良いとは思うのだが、それに捕らわれ過ぎたのもある。
素直に収束する例、しない例を見つけることが出来たら良かった。
それに加えて、どういう時に収束するのか・発散するのかがわかればよかったのだが、簡単な問題ではなさそうである。

オイラー積とリーマンのゼータ関数を収束性と一意性について。

オイラー積とゼータ関数の関係については、もちろん知っていたのだが、それをちゃんと示したことが無かった。また、直感的なものをしっかりと示すことを怠っていた結果であり、直感的なものを疑わなかった結果でもある。
ちゃんとした理解をするためには、疑うこともしなければならない。

詳しい内容に興味がある方は、セミナーのページからダウンロード(8.pdf)してみてください。

自然対数の底 について

理系や、数学Ⅲまで習った人なら、このの定義について問われると、なんだかよく分からないけど、何かの極限値だった気がすると思うのではないだろうか。
ある程度勉強した人なら、あの形が極限の問題に出てくることがあるので、覚えなければならないと躍起になって暗記している、または暗記したのではないだろうか。

しかし、定義だからと言って何もかも覚えるのでは面白く無いだろうし、『何かの値に近づくことが分かるよね。』と教科書には書いているが、それが実際に収束するか、どうかなんて分からないのが極限だったはずなのだ。

例えば、 この級数は発散するが、 この級数は収束する。
ちょっと値を入れただけで、収束するかしないかなど到底言えないことは、伝えられてきた、習ってきたはずなのに、何故自然対数の底では、そう教えられてしまうのか。

これには、この後で扱う問題が比較的解きやすくなるなどの実例があるから高校数学に盛り込まざるを得なかったからであろうと思う。
現状の数学教育では仕方の無いことで、そこをとやかく言うつもりは無い。

では、今回はこの後出てくるや対数微分を習ったところで、この自然対数の底について考え直し、極限の形を覚える必要がなくなることを伝えたいと思う。

これは比較的簡単に見つけることができるので、この話は受験生は是非覚えておいたほうがいい。実際極限の収束・発散は、いくつか覚えなければならないことが多すぎて嫌になるが、大半は先の話を知っていれば、覚える必要は特にないのだ。

それでは、この自然対数の底について、3つのアプローチを考えてみた。もちろん本質的には同じだが…。

1.微分係数との比較

2.を微分の定義にしたがって微分する。

ここまで来れば,後はいつもやっているただの微分公式と見比べれば,に収束している場所が分かるでしょう.

これぐらいでしょうか。もちろん、これらは単独で問題となることもありえますが…。
覚えるという感覚では無くなる気がします。

本質的な部分では、もっと違う方面から出てきそうですが…。まぁ覚えるよりは良いとは思うような気がしないでもないです。
の微分を定義通りにやっても同じ式が出せますが、こちらは小々遠回りな気がしないでもないです。もちろんこっちの方が本質っぽさはある気がします。

2011 早稲田大学-理工 [III]

この問題は、解析にある程度慣れている学生なら見た瞬間に答えが分かるだろう。
それは特に(3),(4)であり、それが見抜けたなら後はただの計算問題である。

この程度の解析学の力は、どの大学であろうとも、数学科学部生なら2,3年以上では解けて欲しい。

今日はこの問題について考えてみたいと思います。
一様収束を考える例題で出てきた、ちょっと難しい問題です。
解析的な考えを多用し、うまく計算をしていくこと。これを頭に置いて考えていきましょう。

ここまでは、正確に式変形をしていきました。

ここから、nだけに着目して考えると…。

と、ある程度簡単に書く（解く）ことができます。

もちろん、ちゃんと展開をして、比べていっても同じ解答が得られると思います。
しかし、常にそれを考えるのは、時間がかかり、とても苦労します。